警车上牌的部门是 省、自治区、直辖市公安厅、局交通管理部门。具体流程包括：
1. 公安机关、国家安全机关、监狱管理机关、人民法院、人民检察院申请办理警车注册登记时，应当填写《警车号牌审批表》，提交法定证明、凭证，由本部门所在的设区的市或者相当于同级的主管机关汇总后送当地同级公安机关审查后，报省、自治区、直辖市公安厅、局审批。
2. 省、自治区、直辖市公安厅、局交通管理部门负责办理警车登记业务，核发警车号牌、行驶证和登记证书。警车的登记信息应当进入全国公安交通管理信息系统。领取警车牌证前，已有民用机动车牌证的，应当将民用机动车牌证交回原发证机关。
3. 警车应当采用全国统一的外观制式，省、自治区、直辖市公安厅、局对警车实行定编管理，统一确定警车的编号，并建立管理档案。领取警车牌证前，已有民用机动车牌证的，应当将民用机动车牌证交回原发证机关。
综上所述，警车上牌业务由省、自治区、直辖市公安厅、局交通管理部门负责，相关部门需按照规定的流程和提交相应的材料进行申请和审批。